Rovnice času aneb šílenství rychlostí, poloh a časů

Pro studium délky dne má zásadní význam tzv. „časová rovnice (rovnice času)“, proto je zde toto téma rozebráno velmi podrobně. Jedná se o poměrně komplikované vztahy nebeské mechaniky při oběhu Země kolem Slunce. Pochopit tuto rovnici znamená zjistit, jaké zákony a vztahy ovládají pohyby těchto dvou těles ve vesmíru a jak fungují. A rozhodně to není úplně triviální.

Nejde o exaktní odvození rovnic, které se nachází v astronomických učebnicích nebo odborných článcích, ale o intuitivní a názorný přístup k problému s minimem vzorců. Pojem časová rovnice (equation of time – rovnice času) má historickou tradici a znamená rovnost časových souřadnic E = T_P – T_S, kde T_P jsou souřadnice pravého Slunce a T_S souřadnice středního Slunce.

E je hodnota časového rozdílu, pokud poznáme tuto hodnotu (například z měření nebo z tabulek), můžeme ji připočítat k hodnotě středního času daného hodinkami a zjistíme, kdy nastává pravé poledne. Tato rovnice je v tabulkách měřená v diskrétních intervalech po 24 hodinách vždy v poledne, ale skutečný děj je spojitý, protože pravé a střední Slunce se pohybují i v čase mezi dvěma poledny.

Ve skutečnosti se jedná o 365 rovnic pro pravé a střední poledne v průběhu roku, které jsou průsečíkem času „poledne UT = 12:00“ na ose x, a jedné spojité funkce času E (t) na ose y. Funkce času E (t) udává neustále se měnící časový rozdíl mezi pravým a středním časem. Konkrétní hodnoty pro poledne jsou uvedené v astronomických tabulkách.  

Hlavní závěr kapitoly je, že žádný přesně 24hodinový sluneční den na Zemi neexistuje. Je to jen chiméra, přelud, kterému lidé věří. Skutečná délka dne, stejně jako pravé poledne, se mění poměrně složitým a dost nečekaným způsobem.

Tento text je volným pokračováním článku o délce dne:
https://zimnialetnicas.cz/delka-dne-na-zemi-aneb-od-setrvacniku-az-k-slunecnici/

Obsah

1. Úvod do problematiky rovnice času
   1.1 Několik astronomických pojmů
   1.2 Proti-otáčení
   1.3 Mapování času změnou geometrického úhlu
   1.4 Rovnice času a znaménková konvence
   1.5 Dvě složky rovnice času
2. První střední Slunce a funkce E₁
   2.1 Graf a data pro funkci E₁
   2.2 Obrázek pohybu Sluncí, který generuje časový rozdíl E₁
   2.3 Komentář k obrázku pohybu Sluncí a složce E₁ rovnice času
   2.4 Rychlosti pohybu Sluncí
   2.5 Proč by právě sinus mohl modelovat průběh funkcí E₁ a E₂
   2.6 Důležité charakteristiky pohybu Sluncí na hranicích oblastí
   2.7 Fázově posunuté střední Slunce (myšlenkový experiment)
3. Druhé střední Slunce a funkce E₂
   3.1 Promítání v prostoru a změna úhlu od 0⁰ do 23,5⁰
   3.2 Graf a data pro funkci E₂
   3.3 Obrázek pohybu Sluncí, který generuje časový rozdíl E₂
   3.4 Komentář k obrázku pohybu Sluncí a složce E₂ rovnice času
   3.5 Vzájemné relativní rychlosti Sluncí
   3.6 Nulové body funkce E₂
   3.7 Intuitivní konstrukce funkcí E₁ a E₂
4. Rovnice času, funkce E = E₁ + E₂
   4.1 Odchylky pravého poledne a pravého dne
   4.2 Je to funkce nebo rovnice? Platnost tabulky hodnot „rovnice času“
   4.3 Obrázek výsledného pohybu Sluncí, který generuje časový rozdíl E
   4.4 Komentář k obrázku pohybu Sluncí a funkci E
   4.5 Délka dne a odchylky od 24 hod
   4.6 Nejkratší a nejdelší den v roce, inflexní body funkce E
   4.7 Spojité a diskrétní derivace E, funkce (d/dt) E a ∆E

1. Úvod do problematiky rovnice času

1.1 Několik astronomických pojmů

Nebeská sféra je koule na noční obloze, kde je pozorovatel uprostřed této koule na povrchu Země. Nebeský rovník je průmět rovníku Země na nebeskou sféru (průsečík roviny rovníku Země s nebeskou sférou). Ekliptika je průsečík roviny dráhy Země s nebeskou sférou. Z pohledu pozorovatele na Zemi se Slunce na obloze pohybuje právě po ekliptice. Průsečík ekliptiky a nebeského rovníku je jarní a podzimní bod. Jde o body, kde nastává rovnodennost. V těchto bodech svírá ekliptika a nebeský rovník 23,5⁰. Ekliptika i nebeský rovník jsou kružnice.

Nebeská sféra je nekonečně vzdálená sférická plocha, která se otáčí, protože Země rotuje. Hvězdy opisují kružnice a otočí se za 1 hvězdný den (23 hod 56 min 4 s). Slunce se pohybuje po tzv. ekliptice, 1 oběh trvá rok. Kružnice kolmé k rovině nebeského rovníku („nebeské poledníky“) se nazývají deklinačními kružnicemi. Podél deklinační kružnice se měří deklinace (tj. úhly „zeměpisné šířky“ na nebeské sféře, 0⁰ má nebeský rovník, 90⁰ severní pól, -90⁰ jižní pól.

1.2 Proti-otáčení

Proti-otáčení je hlavním zdrojem problémů při měření času podle Slunce. Samotné „setrvačníkové“ otáčení o 360⁰ vůči hvězdám je poměrně stabilní a s touto délkou dne ani pravým polednem by „skoro žádný“ problém nebyl (alespoň ne krátkodobě v rámci jednoho roku).

Různé rychlosti pohybu Slunce kolem Země se promítají právě do variabilního proti-otáčení. Jsou důsledkem Keplerových zákonů i měnících se úhlů při promítání pohybu Slunce z ekliptiky do roviny nebeského rovníku kolmé k ose otáčení. Tyto rychlosti a jejich průměty znamenají měnící se příspěvky k úhlům, pod kterými bychom jinak pozorovali Slunce, kdyby se Země kolem Slunce nepohybovala vůbec, pouze by rotovala. Až výsledné úhly (otočení vůči hvězdám + proti-otáčení) jsou tím, co mapuje sluneční časové souřadnice, tj. přiřazuje jednotlivým úhlům čas. Výsledný průběh takto mapovaného času je potom nerovnoměrný a musíme ho průměrovat, středovat.

1.3 Mapování času změnou geometrického úhlu

Čas musíme podle něčeho měřit a pravítkem se to dělat nedá. V jisté etapě lidského poznání to byl pohyb Slunce na nebi, podle kterého se měřil čas.

Pokud (z hlediska pozorovatele na Zemi) Slunce obíhá kolem Země, pak můžeme měřit úhel, pod kterým Slunce pozorujeme. Celkový úhel 360⁰ kolem rotační osy Země můžeme rozdělit na úseky po 15⁰ a čas, který uplyne mezi dvěma polohami Slunce, označíme jako hodinu.

Pokud nemáme jiné lepší srovnávací hodiny, tak nevíme, jak hodnotit rovnoměrnost pohybu Slunce a úhlům α₁, α₂, α₃, resp. Δα₁, Δα₂, Δα₃ bude příslušet „hodina“ času, i kdyby ta hodina „po našem“ trvala ve skutečnosti 3 hodiny. Čas tu měříme na základě zvolených astronomických dějů a geometrie úhlů. Podle zvoleného systému měření tak můžeme dostat různé (mírně odlišné) časové systémy.

V astronomii se úhlu α, resp. Δα, říká hodinový úhel. Je to úhel mezi místním nebeským poledníkem (meridiánem) a deklinační kružnicí zvoleného objektu na obloze (Sluncem, hvězdou). Jinak řečeno je to úhel mezi dvěma rovinami protínajícími se v ose rotace Země. Jednu určuje poledník, kde je pozorovatel a druhou rovina, kde je daný nebeský objekt. Hodinový úhel se měří od meridiánu, kde je definována nula ve směru zdánlivého pohybu hvězd, tj. směrem na západ. V okamžiku kulminace nebeského objektu (poledne) je hodinový úhel nulový, 15⁰ definuje hodinu (1⁰ jsou 4 časové minuty).

Takto je možné definovat na hvězdné obloze „hvězdný čas“ jako hodinový úhel jarního bodu nebo „sluneční čas“ jako hodinový úhel Slunce. Vznikají jakoby „různé časy“, které jsou ale ve skutečnosti jen souřadnice různých časových soustav a patří stejnému fyzikálnímu času.

Na základě pravého (skutečného) Slunce na obloze je definován čas T_P, kterému z důvodu nerovnoměrnosti a nepřesnosti někdy říkáme zdánlivý sluneční čas (apparent solar time) nebo přesněji pravý sluneční čas (true solar time). Vychází ze „zdánlivého“ pohybu Slunce na obloze. Výraz „zdánlivý“ není nejvhodnější, protože Slunce na daném místě oblohy opravdu vidíme (není to optický klam), ale poloha zahrnuje i proti-rotaci, tj. důsledky pohybu Země kolem Slunce.

T_S jsou souřadnice tzv. středního času. Ten je virtuální vystředovanou hodnotou, je to jen myšlenkový koncept, průměr všech dnů v roce. Žádné střední Slunce na obloze není. Z hlediska běžícího času můžeme za přístroj určující tento střední čas považovat přesné mechanické hodiny (problematiku „atomového“ času zde můžeme vynechat).

1.4 Rovnice času a znaménková konvence

E = T_P – T_S, to znamená, že T_P = T_S + E, kde

T_P jsou souřadnice pravého Slunce, T_S1 souřadnice 1. středního Slunce
T_S2 souřadnice 2. středního Slunce = T_S souřadnice středního Slunce

12:00_P = 11:57_S + 3 min, E > 0
12:00_P = 12:03_S – 3 min, E < 0

E > 0, pravý čas předchází střednímu (pravé poledne na obloze nastane dřív než střední), Země se „proti-otáčí“ pomaleji než je průměrné proti-otáčení a polohu z předchozího dne (např. poledne) dosahuje dříve než polohu středního Slunce. Dotočení Země vůči pravému Slunci (při konstantní rotaci) trvá kratší dobu než dotočení vůči „střednímu“ Slunci.

E < 0, pravý čas se opožďuje oproti střednímu (pravé poledne na obloze nastane později než střední), Země se „proti-otáčí“ rychleji než je průměrné proti-otáčení a polohu z předchozího dne (např. poledne) dosahuje později než polohu středního Slunce. Dotočení Země vůči pravému Slunci (při konstantní rotaci) trvá déle než vůči „střednímu“ Slunci.

V některých státech má parametr E opačné znaménko (E = T_S – T_P). Důsledkem je, že výsledné grafy této veličiny jsou vzhledem k hodnotám na ose y zrcadlově převrácené. Jinak je to samozřejmě jedno.

Pojem časové souřadnice je v této souvislosti nutné brát s jistou rezervou, protože pravé Slunce neudává rovnoměrný čas se stejnými intervaly. Na druhé straně i modernější měření vykazuje vždy nějakou nepřesnost. Neuvěřitelné je, že první úvahy o této rovnici sepsal už Ptolemaios ve 2. století n. l., v době, kdy hodiny pro přesnější srovnání ještě neexistovaly.

Různé časové soustavy, ale stejný čas

Rovnice E = T_P – T_S, včetně variant pro E₁ a E₂, je rovnice popisující stejný časový okamžik (čas t) a znamenají rovnici E (t) = T_P (t) – T_S (t). Hodnoty T_P, T_S1, T_S2 jsou jen různé časové souřadnice pro stejný okamžik t, nejsou to různé fyzikální časy. Jsou to „časy“ na různých „hodinkách“. Souřadné soustavy pro čas t jsou zde tři: pravý čas, 1. střední čas a 2. střední čas. Ani jeden z těchto „časů“, dokonce ani T_S není absolutně totožný s časovou souřadnicí měřenou například jako „atomový čas“.

1.5 Dvě složky rovnice času

E = E₁ + E₂, kde
E₁ = T_P – T_S1, tj. časový rozdíl mezi pravým (S_P) a 1. středním Sluncem (S₁)
E₂ = T_S1 – T_S2, tj. časový rozdíl mezi 1. (S₁) a 2. středním Sluncem (S₂)

Potom platí, že E = E₁ + E₂ = T_P – T_S2 = T_P – T_S, kde E je rozdíl mezi pravým a středním (=2. středním Sluncem)

Proč tu vůbec nějaké střední Slunce je? Rotace Země funguje jako oscilátor taktující poměrně stabilní časové jednotky, setrvačníkové „hvězdné“ dny, ale změny polohy Země na elipse, resp. Slunce na kružnici v případě ekliptiky, do toho vnáší kromě proti-otáčení jako přidaného úhlu také nerovnoměrný pohyb. Rychlost proti-otáčení kvůli Keplerovým zákonům není stabilní. Proto vzniká rozdíl mezi střední a reálnou rychlostí, mezi středním a skutečným úhlem, pod kterým vidíme Slunce. Jinak by rychlost byla jen jedna (pokud by navíc byla osa rotace Země k rovině ekliptiky kolmá).

Pokud je osa Země skloněná, je zdrojem další nerovnoměrnosti. Pohyb S₁ i S_P se promítá do pohybu na rovníkové kružnici a nemění se jen poloha, ale také rychlost. Střední Slunce S₁ promítnuté do roviny rovníku, kde ho označíme jako S_1P už není žádné střední Slunce, S_1P mění rychlost svého pohybu a musí se opětovně středovat na S₂. Slunce S_1P se pohybuje po kružnici rovníku ve stejném okamžiku (synchronizovaně) jako S₁ po kružnici ekliptiky. Platí to i pro S_P a jeho průmět.

E₁ = (T_P – T_S1)_{na ekliptice} = (T_Pprůmět – T_S1průmět)_{na rovníku}
E₂ = (T_S1 – T_S2)_{na rovníku}  = (T_S1průmět  – T_S2)_{na rovníku}
E = (E₁ + E₂)_{na rovníku} = (T_Pprůmět – T_S2)_{na rovníku} = (T_P – T_S2)   

2. První střední Slunce a funkce E₁

2.1 Graf a data pro funkci E₁

Země se pohybuje po elipse a Slunce není ve středu elipsy, ale v jednom z jejich ohnisek. Zeměkoule se pohybuje nerovnoměrně, dle Keplerových zákonů, někdy rychleji a jindy pomaleji. Vzhledem k tomu, že nemůžeme pozorovat sami sebe, pozorujeme pohyb Slunce na nebi a skutečný pohyb Země je vnímán jako denní a roční „zdánlivý“ pohyb Slunce.

Důsledkem nerovnoměrného pohybu Země kolem Slunce je nerovnoměrný pohyb Slunce na nebeské sféře.

Promítáním pohybu Slunce na nebeskou sféru dochází k „záměně“ pohybu dvou nebeských těles. Z hlediska pozorovatele na Zemi se na nebeské sféře pohybuje Slunce a obíhá Zemi po ekliptice, tj. kružnici, jejíž „vzorem“ je ve skutečnosti eliptická dráha Země kolem Slunce.  

První střední Slunce je virtuální neexistující objekt, který se pohybuje rovnoměrně. Nepohybuje se po elipse, ale po kružnici. Se skutečným pravým Sluncem se 1. střední Slunce setká na „oběžné dráze“ 2x, v perihéliu a v aféliu (přesněji v průmětech těchto bodů na nebeské sféře). Pohyb 1. středního Slunce kolem Země nahrazuje pohyb fiktivní střední Země, pohybující se průměrnou rychlostí po kružnici, v jejímž středu by bylo Slunce.   

Data ke grafu

Nulovou hodnotou z plus na minus prochází křivka ve dnech 3. – 4. ledna (dny 3 a 4), a pak z minus na plus 5. – 6. července (dny 186 a 187), protože perihélium nastává 4. 1. 2023 a afélium 6. 7. 2023.

Maximální záporné odchylky -7 min 39 s křivka dosahuje ve dnech 1. 4. (91. den) – 6. 4. (96. den).
Maximální kladnou hodnotu +7 min 39 s křivka dosahuje 3. 10. (276. den) – 8. 10. (281. den).

Zdroj astronomických dat pro hodnoty rovnice času:
https://kalendar.beda.cz/hodnoty-casove-rovnice

2.2 Obrázek pohybu Sluncí, který generuje časový rozdíl E₁

Účelem následujícího obrázku je zobrazit, jak je promítáno Slunce na nebeskou sféru při eliptickém oběhu Země kolem Slunce, které se nachází v jednom z ohnisek elipsy. Po promítnutí Slunce na nebeskou sféru můžeme dát do středu nebeské sféry Zemi. Ta při ročním oběhu kolem Slunce zároveň rotuje ve stejném směru kolem své osy. Vzhledem k vzdálenostem ve vesmíru je nebeská sféra prakticky nekonečně daleko ve srovnání se vzdáleností Země a Slunce.

Obrázek, spolu s předcházejícím grafem, ukazuje souvislost mezi rychlostí, polohou a časem, mapovaným geometrickým úhlem.

Popis značení na obrázku

S₁ – 1. střední Slunce, S_P – pravé Slunce,
P, A – perihélium a afélium,
P´, A´ – průmět perihélia a afélia na ekliptiku.

2.3 Komentář k obrázku pohybu Sluncí a složce E₁ rovnice času

Někdo by si mohl myslet, že když je na ekliptice pravé Slunce před středním, viz předchozí obrázek, tak nad hlavou budeme mít nejdříve pravé poledne a až pak střední. Zní to logicky, ale je to naopak.

Střední poledne předběhne pravé. Proč? Protože my nepozorujeme Slunce z nějakého „nehybného matematického bodu“ (to by neexistoval den), ale z povrchu rotující Země. Otáčení zeměkoule má stejný směr jako její pohyb po oběžné dráze (na ekliptice ho nahrazuje Slunce), jen je 365x rychlejší. Země se točí na východ, takže hvězdy na nebi se pohybují na západ, opačným směrem. Čím víc je pravé Slunce na ekliptice před středním, tím více se Země musí v rámci jednoho dne k poledni „dotočit“.

Z hlediska pozorovatele kulminace Slunce na Zemi nastane poledne dříve u toho Slunce, které se objeví jako první v rovině rotujícího meridiánu. Na obrázku je zobrazen červeně a točí se proti směru hodinových ručiček. Na nebi se proto „hvězdy“ objevují v opačném pořadí, než je pořadí při jejich ročním pohybu po ekliptice. Platí to i pro pravé a střední Slunce. Úhly, definující polohy Sluncí na ekliptice (viz obrázek) a pro pozorovatele na Zemi jsou velikostí stejné, ale opačně orientované.

(α_P – α_S1)_{na rotující Zemi} = – (α_P – α_S1)_{úhel na ekliptice, Země jako bod}

Další text a většina úvah vychází z orientace úhlů na ekliptice, viz obrázek vzájemného pohybu Sluncí.

Oblast 1 – od začátku křivky po minimum

V perihéliu se střední Slunce potkává s pravým (E₁ = 0). Protože v perihéliu je rychlost Země a pravého Slunce větší než průměrná, pravé Slunce předběhne virtuální střední, a proto je potřebné k otočení Země do středního poledne přidat ještě další „dotočení“ k tomu pravému. Delší dráha pravého Slunce na nebi znamená větší „dotáčení“ zeměkoule. V oblasti 1 pravé Slunce, jako obraz pohybu Země po elipse (pozorovaný jako pohyb Slunce po ekliptice), uniká stále víc virtuálnímu „střednímu“ Slunci, a vzdaluje se mu přesto, že jeho rychlost cestou do afélia postupně klesá. Platí: E₁ (= T_P – T_S1) < 0. „Pravé poledne“ v oblasti 1 zaostává za středním (uvažujeme jen o složce E₁).

Oblast 2 – od minima křivky po nulový bod

Pravé Slunce v perihéliu sice předběhne střední, ale jeho rychlost se v oblasti 1 trvale zpomaluje. Rozdíl mezi pravým a středním časem trvale narůstá, ale vzhledem ke zpomalování pravého Slunce se přírůstek stále zmenšuje. V bodě minima křivky (začátek oblasti 2) se přírůstek zastaví úplně. Je to způsobeno tím, že se rychlost pravého Slunce zmenší na rychlost středního a vzdálenost mezi nimi se už dál nezvětšuje. Pravé Slunce se bude do afélia i nadále zpomalovat, a proto rychlost středního Slunce bude už větší než rychlost pravého. Časový rozdíl a vzdálenost mezi nimi se bude zmenšovat, až se v aféliu setkají. V oblasti 2 stále platí E₁ < 0. „Pravé poledne“ zaostává za středním (jen složka E₁).

Oblast 3 – od nulového bodu křivky po maximum

Aféliem (E₁ = 0) prochází už pomalé pravé Slunce, a proto ho střední předběhne a začne se mu stále víc vzdalovat. Rozdíl mezi pravým a středním časem trvale narůstá. Nakonec vzdálenost mezi nimi dosáhne maxima a tomuto maximu bude odpovídat i maximální rozdíl E₁ mezi příslušnými časy na konci oblasti 3. Zaostávání pravého Slunce za středním znamená, že se otočení Země do pravého poledne uskuteční dříve než do středního. V oblasti 3 platí E₁ > 0. „Pravé poledne“ předchází střednímu (jen složka E₁).

Oblast 4 – od maxima křivky až na konec periody

V okamžiku maxima křivky pro rozdíl časů E₁ rychlost pravého Slunce dosáhne rychlosti středního. Jejich vzájemná vzdálenost a rozdíl mezi pravým a středním časem přestane narůstat. Vzhledem k nadále rostoucí rychlosti pravého Slunce se začne vzdálenost Sluncí i rozdíl mezi pravým a středním časem zmenšovat, protože se Slunce k sobě přibližují. Hodnota E₁ > 0 platí i nadále. Nakonec se střední a pravé Slunce setkají v novém perihéliu, kde E₁ = 0. „Pravé poledne“ v oblasti 4 předchází střednímu (jen složka E₁).

Pozn.: „Pravé poledne“ je tu pomocný pojem vztažený jen na první část pohybu, složku E₁.

2.4 Rychlosti pohybu Sluncí

Rychlost Země, resp. promítaného pravého Slunce, je maximální v perihéliu, ale na křivce E₁ tam vidíme nulový bod a lokální extrém je posunutý. Proč není největší časový rozdíl tam, kde je největší rychlost, tj. v perihéliu? Jaký je vztah mezi rychlostí a polohou?

Průběh rychlostí reprezentuje derivace křivky sinus, derivace rovnice E₁ = T_P – T_S1 = (α_P – α_S1)_{na rotující Zemi}, kde cosinus nabývá maxima v perihéliu a minima v aféliu. Ale odkdy je derivace času rychlost? Tak obecně to určitě neplatí, ale tady je čas E₁ mapovaný na základě pohybu Sluncí. Měří se úhel alfa, pod kterým Slunce pozorujeme na nebi a úhlová rychlost je přes poloměr svázaná s obvodovou rychlostí. Úhel a čas jsou zde stejné navzájem rovné veličiny. Obvodové rychlosti jsou úměrné (~) času a správnou konstantou je možné nastavit i jejich rovnost.

Pravý čas je mapovaný jako α_P, střední čas jako α_S1, potom E₁ = – (α_P – α_S1)_{na ekliptice, bodová Země}. Čas E₁ uplyne po otočení Země z jednoho úhlu do druhého. Zkoumáním změn v čase, tj. derivací (spojitou nebo diskrétní, celkovou změnou za den), získáme průběh relativní úhlové rychlosti ω_r = (ω_P – ω_S1) nebo relativní obvodové rychlosti v_r = (v_P – v_S1). Úhel α na ekliptice je kladný proti směru hodinových ručiček v geometrii, kde Země je jen bodový střed ekliptiky jako kružnice.

–dE₁/dt = (dα_P/dt – dα_S1/dt) = (ω_P – ω_S1) = ω_r = v_r/r = (v_P – v_S1)/r

v_r = konst₁ * dE₁/dt, ω_r = konst₂ * dE₁/dt

Relativní úhlová rychlost ω_r nebo obvodová rychlost v_r je úměrná -(d/dt) E₁, kde r je poloměr kružnice nahrazující elipsu (v_S1 = ω_strední * r).

Pokud (d/dt) E₁ = 0, tak (v_p – v_S1) = 0, vzájemná relativní rychlost Sluncí je nulová a jejich vzdálenost se nemění (proto se nemění E₁).

Průměrná rychlost pohybu pravého Slunce je někde mezi maximální a minimální rychlostí, při symetrii v polovině. Obě Slunce se setkají v bodě perihélia, tam bude křivka rozdílu časů E₁ začínat nulou a 1. lokální extrém (minimum) bude v polovině mezi perihéliem a aféliem. Viz dřívější komentář pro oblast 1 a 2. Další nulový bod bude v aféliu, po něm bude následovat maximum atd.

Na úvodní otázku: Proč není největší časový rozdíl tam, kde je největší rychlost, je poměrně rozsáhlá a podrobná odpověď v kapitole 2.6. Jak bude uvedeno o kousek dál, pohyby mají v průmětu charakter kmitů, což ukazuje i tzv. analema, takže i průběh pohybů a rychlostí bude podobný.

2.5 Proč by právě sinus mohl modelovat průběh funkcí E₁ a E₂

Kde se tu vzal sinus? Z čeho plyne, že průběh funkce by měla popisovat právě tato funkce. A proč tam vůbec jsou goniometrické funkce? Když se ve fyzice řeší nějaký problém, sestavují se rovnice na základě fyzikálních zákonů a z nich potom plyne řešení v podobě výsledných matematických funkcí. Takové exaktní řešení hledá i astronomie, tady to ale chceme udělat jinak, intuitivně, s minimem rovnic.

Víme jen to, že:
E₁ = T_P – T_S1 = (α_P – α_S1)_{na rotující Zemi} = – (α_P – α_S1)_{na ekliptice}

Nevíme, jaký tvar má funkce E₁ (t) ani jak se mění v čase. Pokud se podíváme na obrázek pohybu Sluncí, který generuje časový rozdíl E₁, zjistíme, že pravé Slunce se někdy překrývá se středním a α_P = α_S1. Někdy je hodnota (α_P – α_S1) kladná a někdy záporná. Obrázek ale vychází z už hotového grafu pro E₁ a tak by to byl logický kruh. Je třeba hledat dál.

Pokud má nějaká měnící se veličina (např. poloha nebo rychlost) průměr, tak musí být nějaké hodnoty nad a jiné hodnoty pod průměrem. Ten bude při výpočtu hodnot (+y a -y) ve středu odchylek na ose x. A pokud se tyto hodnoty mění v čase spojitě, ne skokově, musí se propojit spojitou křivkou reprezentující postupnou změnu. Hodnoty se navíc mění opakovaně, periodicky. Nejjednodušší propojení bodů nad a pod osou jsou funkce sinus nebo cosinus, to jsou dvě funkce prakticky totožné, jen fázově posunuté, takže to bude alespoň v 1. přiblížení nějaká goniometrická funkce.

Vztahy mezi znaménky E₁ a obvodovými rychlostmi na ekliptice

Relativní poloha Sluncí na ekliptice má opačné znaménko jako pozorování této polohy na rotující Zemi definující E₁.  Kladná relativní poloha S_P před S₁, (α_P – α_S1) > 0, na ekliptice znamená zápornou hodnotu E₁ a opačně.

Po derivaci se relativní poloha změní na relativní rychlost. Orientace všech úhlů α_P, α_S1, atd. je ve shodě s jejich orientací na ekliptice (dle obrázku „pohybu Sluncí“).

Pokud je číselná (skalární) relativní rychlost Sluncí (v_p – v_S1) > 0, tj. v_p > v _S1, rozdíl Δ E₁ je záporný, každá další hodnota je menší v kladných i záporných číslech. A pozor: jde o Δ, tj. změnu E₁, ne E₁, které je také rozdílem časů.

(v_p – v_S1) > 0, v_p > v_S1, oblasti 4 a 1, Slunce se nejdříve přibližují (S_P je za S₁), a po setkání vzdalují
(S_P je před S₁), Δ E₁ < 0 

(v_p – v _S1) < 0, v_p < v_S1, oblasti 2 a 3, Slunce se nejdříve přibližují (S_P je před S₁), a po setkání vzdalují
(S_P je za S₁), Δ E₁ > 0

2.6 Důležité charakteristiky pohybu Sluncí na hranicích oblastí

V bludišti poloh, vzájemných rychlostí a různých časů (přesněji časových souřadnic), nám může být při úvahách pomůckou nějaká analogie. Rovnice času popisuje „pomalé kmity“ časových souřadnic kolem nějaké střední hodnoty. Ve skutečnosti ale nekmitá nějaký záhadný čas, ale na obloze se promítají složité vzájemné pohyby nebeských těles do periodických pohybů. Podobný charakter má kyvadlo, i tady se něco pohybuje a kmitá kolem středu.

Pro amplitudy a rychlosti kyvadla platí:

1. kde je maximální amplituda, tam je rychlost tělesa nulová a mění svůj směr na opačný
2. kde je střed amplitud (výchylek na jednu i druhou stranu), tam je rychlost tělesa maximální

Pro 1. střední Slunce platí, že průběh rychlosti vůči nějaké střední rychlosti reprezentuje křivka cosinus začínající v perihéliu, tam je rychlost maximální, v aféliu je minimální.  Obě hodnoty jsou stejně vzdálené od střední hodnoty. Uprostřed mezi perihéliem a aféliem bude hodnota rychlosti pravého Slunce nulová. Kde je rychlost Země na oběžné dráze (resp. promítnutého Slunce) nulová? Nikde, ale tady hledáme nulu vůči střední rychlosti (tj. relativní rychlost), ne skutečně nulovou rychlost pohybu.

Střední rychlost je mezi maximální a minimální, nulová relativní rychlost bude z tohoto hlediska při symetrii uprostřed mezi perihéliem a aféliem. V tomto bodě se mění i směr této rychlosti jako vektor. Ne, že by se Země otočila a začala couvat, ale relativní rychlost se změní z kladné na zápornou (nebo opačně).

Opačný směr znamená, že vzdalování nebeských těles se změní na přibližování (viz obrázek, hranice oblasti 1 a 2) a opačně. Na obrázku se vychází z už stanovených poloh míst setkání Sluncí.

Obecně je ale pro rychlosti možné říci jen to, že v oblasti 1 a 4 je rychlost pravého Slunce větší než 1. středního a v oblasti 2 a 3 je rychlost S_P menší než rychlost S₁. Je to jako v autě, pokud výsledný vektor (velikost a směr) rychlostí dvou aut směřuje k druhému, auta se přibližují, pokud má opačný směr, tak se vzdalují. Větší rychlost pravého Slunce než středního, může znamenat někdy přibližování a jindy vzdalování. Vše závisí na výchozí poloze.

Maxima a minima jako hranice oblastí 1 a 2 nebo 3 a 4

Středy mezi perihéliem a aféliem (hranice oblastí 1 a 2 nebo 3 a 4) jsou body „lokálních“ amplitud Δt funkce E₁ (plusové a minusové), nulové relativní (vzájemné) rychlosti těles a zároveň obratu mezi přibližováním a vzdalováním pro tělesa S₁ a S_P obecně.

Na hranicích oblastí 1 a 2 nebo 3 a 4, definovaných lokálními extrémy E₁, se relativní rychlost (v_p – v_S1) mění na opačnou, z plus na minus nebo z minus na plus. Slunce se v obou případech až po hranici oblastí nejdříve vzdalují, a pak přibližují.

Lokální extrémy funkce sinus se neposouvají doprava ani doleva. Zůstávají tam, kde jsou i při všech myšlených (teoretických) posunech polohy S₁ na ekliptice vůči S_P. Mění se jen amplitudy. Proč? Průběh rychlostí je dán Keplerovými zákony, maximální rychlost je v perihéliu, minimální v aféliu. Mezi nimi je nulová relativní rychlost, a právě ta definuje polohu x maximální amplitudy y funkce E₁. Jen při nulové relativní rychlosti se může vzájemný pohyb otočit opačným směrem (přibližování na vzdalování a opačně). Při nenulové rychlosti by vzájemný pohyb pokračoval v původním směru dál.

Nulové body funkcí

Nulové body funkce E₁ jsou body setkání Sluncí. Při pohybu do tohoto bodu se Slunce navzájem přibližují a po průchodu nulovým bodem se vzdalují. Kde je nulový bod amplitudy E₁, nemůže být nulová rychlost, protože by se tam vzájemný pohyb zastavil a změnil směr, místo toho, aby pokračoval dál. Nulové body se za jistých okolností posouvat mohou a v jednom zvláštním případě tam při shodě s amplitudou může být i nulová vzájemná rychlost (viz kap. 2.7).

2.7 Fázově posunuté střední Slunce (myšlenkový experiment)

Co kdyby vystředovaný virtuální objekt obíhal stejnou rychlostí, ale úhlově (fázově) posunutý. Jen ze středování veličiny rychlosti nijak neplyne, kde konkrétně takové střední Slunce z hlediska polohy musí být. Víme jen, že musí mít nějakou průměrnou rychlost. Kde bude nová střední poloha?

Při pozorování průmětů pohybů Slunce na obloze je střední Slunce mezi krajními polohami těch pravých, protože i když je teoretické, reprezentuje vždy pohyb skutečného Slunce, a ne nějaký neznámý objekt na obloze. Tady otázka, kde by střed měl být ani nevznikne. Kde jinde než uprostřed krajních poloh. Přesto je otázka, co by se stalo při fázovém posunu středního Slunce, zajímavá.

Posun fáze středního Slunce

Pokud body setkání tvoří perihélium a afélium, a funkce E₁ pro amplitudu Δt je symetrická, suma všech kladných odchylek je stejná jako suma všech záporných. Střed je uprostřed odchylek. Pokud by bylo na oběžné dráze ještě jiné virtuální střední Slunce (definované jen střední rychlostí a fázově posunuté), ke každé dřívější časové odchylce by se musela přičítat ještě fixní hodnota úhlu (času) odpovídající rozdílu fáze mezi S₁ (původním středním Sluncem) a novým posunutým S_1posunuté.

Výsledek takového posunutí je na dalším grafu, kde je vidět, že posun fáze má zajímavé důsledky. Stačí úhel odpovídající času většímu než 7 min a 39 s a Slunce se nesetkají vůbec. Obě tělesa se mohou navzájem honit jako pejsek a kočička po lese, někdy se budou přibližovat, a jindy vzdalovat, ale nemusí se nikdy dohonit a navzájem předběhnout.

Posunutí S₁ na ekliptice reprezentuje posun grafu funkce E₁ svisle a vznik nových nulových bodů. Hranice oblastí se posouvají, ale symetrie zůstávají kolem maximálních amplitud. To zachovává základní logiku, že maximální výchylka z nulového bodu (místa setkání Sluncí) na jednu stranu trvá stejně dlouho jako návrat zpět do nulového bodu (následujícího místa setkání). Zajímavým důsledkem je, že samotné výchylky (amplitudy) z nulových bodů budou výrazně odlišné.

Body maximální vzájemné rychlosti (určené Keplerovými zákony) se nezmění, jsou na ose x uprostřed mezi lokálními extrémy E₁. Průběh rychlostí jako cosinus je zachován, derivace konstantu posunu funkce E₁ zruší.

Nulové body už nejsou uprostřed časového intervalu mezi amplitudami. Nulové body určujeme volbou (zda chceme, aby to „kmitalo“ opravdu kolem středu nebo jinde).

Kde všude může nastat setkání pravého a virtuálního středního Slunce?

1. v bodech perihélia a afélia (pokud střed volíme uprostřed výchylek, S₁ bez fázového posunutí)
2. v libovolných jiných bodech, symetrických kolem maxim a minim funkce E₁
3. jen v 1 bodě maxima nebo minima, nulový bod rychlosti se stává totožným s bodem amplitudy, možná, ale nepřirozená situace, kdy je „střed“ z nějakého důvodu nastaven na kraj amplitudy
4. v žádném bodě, k setkání Sluncí nedojde

Proč se pravé a střední Slunce setkávají právě v perihéliu a v aféliu?

Body setkání Sluncí nemohou být s výjimkou jednoho výše uvedeného případu v bodech nulové vzájemné rychlosti, protože by se tam vzájemný pohyb zastavil a změnil směr, místo toho, aby pokračoval dál. Musí v nich být nenulová rychlost. A pokud budou výchylky poloh reprezentované E₁ symetrické, suma kladných odchylek bude stejná jako suma záporných, nastaví se do maxima a minima rychlostí. Perihélium a afélium jako místo setkání Sluncí je určeno průběhem rychlostí a přirozenou volbou, aby součet odchylek od střední polohy byl nulový.

3. Druhé střední Slunce a funkce E₂

Nerovnoměrný pohyb pravého Slunce po ekliptice je příčinou nerovnoměrného zdánlivého proti-otáčení. Jeho průměrováním vzniká 1. střední Slunce. To se pohybuje rovnoměrně. Otázkou je, jak bude pohyb tohoto vystředovaného Slunce po ekliptice přispívat k proti-rotaci v jiné rovině, tj. jak se rovnoměrný pohyb po jedné kružnici promítne do nerovnoměrných změn rychlostí a poloh na druhé skloněné kružnici v rovině rotace Země, tj. na nebeský rovník.

Promítnutím 1. středního Slunce do roviny nebeského rovníku vznikne nový fiktivní objekt S_1P (promítnuté Slunce S₁). Analýza geometrie pohybu ukazuje, že se tento virtuální objekt pohybuje v prostoru opět nerovnoměrně.

Až vystředováním tohoto dalšího virtuálního objektu S_1P dostaneme 2. střední Slunce (S₂). Druhé střední Slunce je pojem, který už zohledňuje sklon zemské osy. Pokud chceme sečíst úhly, musíme je zkoumat ve společné rovině, tj. v rovině kolmé k ose rotace (chceme sečíst úhel proti-rotace s rotací). Proto se pohyb 1. středního Slunce po ekliptice musí nejdříve promítnout do roviny nebeského rovníku a tam zprůměrovat. Úhlům v rovině rotace přísluší mapované časy, které je potom možné sečíst.

S₂ se tedy pohybuje po kružnici nebeského rovníku rovnoměrně. Vzhledem ke kružnicím v prostoru se s pravým Sluncem může „reálně“ setkat jen v jarním a podzimním bodě. To jsou průsečíky ekliptiky a nebeského rovníku, tj. polohy Země (promítnutého Slunce) v době jarní a podzimní rovnodennosti.

Průběh funkce E₂ a vzájemný pohyb Sluncí je překvapující a velice zajímavý. Pohyb prvního středního Slunce vzhledem k pravému Slunci vede k sinusoidě s poměrně složitým průběhem poloh a vzájemných rychlostí. Pohyb druhého středního Slunce vzhledem k průmětu S₁ je ještě mnohem složitější a vede k 2x rychlejší změně fáze a k dvojnásobnému počtu maxim a minim. Ve své podstatě jednoduché pohyby nebeských těles komplikují vztahy vzájemných relativních rychlostí a poloh mezi pravým a středním Sluncem.

3.1 Promítání v prostoru a změna úhlu od 0⁰ do 23,5⁰

Pokud funkci E₁ určují Keplerovy zákony (pohyb po elipse, body jako perihélium a afélium), funkci E₂ určuje geometrie, sklon mezi rovinami nebeského rovníku a ekliptiky. Úhel mezi rovinami je konstantní, ale úhel mezi křivkami v těchto rovinách, tj. dráhami těles, se spojitě mění. Důležitou roli v této geometrii hrají limitní body, hranice měnícího se úhlu. Jsou to dny slunovratů a dny rovnodennosti, kde dochází k podstatné změně úhlu mezi ekliptikou a nebeským rovníkem.  

1. střední Slunce se pohybuje po kružnici – ekliptice rovnoměrnou střední rychlostí. Tuto rychlost je potřebné promítnout prostorově do roviny nebeského rovníku, aby se mohl započítat vliv 1. středního Slunce (S₁) k rotaci kolem osy Země. Podle obrázku je vidět, že „v bodech“ zimního slunovratu a letního slunovratu jde o nad sebou umístěné rovnoběžky a průmět rychlosti Slunce S₁ do roviny rovníku bude zachován a nezmenšen, promítne se kolmicí na rovník jako složka vektoru rychlosti.

Dál se úhel mění spojitě až do trojúhelníků s jarním a podzimním bodem. V bodech jarní a podzimní rovnodennosti je to „limitní trojúhelník“, kde proměnný úhel naráží na hranici danou úhlem obou rovin. Průmět rychlosti 1. středního Slunce do roviny rovníku se zmenšuje jako cos α. Pro jarní a podzimní rovnodennost je to v limitě úhel 23,5⁰, směrem k letnímu a podzimnímu slunovratu se úhel spojitě mění. Pro slunovraty je α = 0⁰ a cos α = 1, průmět vektoru rychlosti je nezmenšený.

Trojúhelník promítání pohybu v bodech jarní a podzimní rovnodennosti

A/C = cos α

Úhel α při pohybu v prostoru není fixní. Za skutečnost, že se z rovnoměrné rychlosti 1. středního Slunce stane nerovnoměrný pohyb, může měnící se úhel α a jeho cosinus (A = C*cos α). Zatímco křivka 1. středního Slunce měla jedno maximum a jedno minimum, tady budou 2 maxima a 2 minima a rychlost průběhu fáze funkce cosinus se zdvojnásobí.

Ve dnech zimního a letního slunovratu je rychlost průmětu 1. středního Slunce (v_S1p) maximální a ve dnech jarní a podzimní rovnodennosti je minimální. Tato rychlost se ale neanalyzuje jako samostatná, ale jako relativní rychlost vztažená k nějaké střední hodnotě. To má za následek, že se z minimální rychlosti stane druhá „maximální“ rychlost, lišící se od první jen zápornou hodnotou. Navíc se zkoumá rychlost a poloha vůči virtuálnímu objektu, pohybujícímu se střední rychlostí.

Vztah mezi okamžitou rychlostí a střední rychlostí byl rozebrán podrobně už u funkce E₁, pro funkci E₂ je to stejné, resp. podobné. Maximální a minimální relativní rychlost „kmitá“ kolem střední nulové hodnoty.

3.2 Graf a data pro funkci E₂

Nulovou hodnotou z minus na plus prochází křivka ve dnech 20. – 21. 3. (ve dnech 79 a 80), z plus na minus 21. – 22. 6. (ve dnech 172 a 173), z minus na plus 22. – 23. 9. (ve dnech 265 a 266) a z plus na minus ve dnech 21. – 22. 12. (ve dnech 355 a 356).

Zápornou hodnotu (– 9 min 52 s) křivka dosahuje 2. – 3. února (ve dnech 33 a 34), hodnotu + 9 min 52 s 6. – 7. května (ve dnech 126 a 127), hodnotu (– 9 min 52 s) 6. srpna (218. den) a hodnotu + 9 min 52 s 8. – 9. listopadu (ve dnech 312 a 313).

Výsledný tvar funkce E₂, a také tvar následné součtové funkce E, která ukazuje rozdíl „časových“ souřadnic (T_P – T_S), měřených na základě pohybu skutečného S_P a S₂, by čekal jen málokdo. Nečekaný je zejména dvojnásobný počet maxim a minim i poloha nulových bodů a lokálních extrémů.

3.3 Obrázek pohybu Sluncí, který generuje časový rozdíl E₂

Popis značení na obrázku

ZS, LS – zimní a letní slunovrat,
JR, PR – jarní a podzimní rovnodennost,
S₁, S₂ – první a druhé střední Slunce, v_S1, v_S2 – rychlosti S₁, S₂,
S_1P – průmět 1. středního Slunce do roviny nebeského rovníku, v_S1P – rychlost S_1P.

Obrázek zobrazuje vzájemné polohy 2. středního Slunce a průmětu 1. středního Slunce z roviny ekliptiky do roviny nebeského rovníku. Jedná se o pomalý roční pohyb těles. Polohy jsou samozřejmě ilustrační a nezobrazují skutečné (úhlově přesné) vzdálenosti těles. Úhel 15⁰ na obloze odpovídá 1 hodině, takže 10 minut (maximální odchylka E₂) je 2,5⁰. Další reálné úhly jsou ještě mnohem menší. Na hranicích jednotlivých oblastí obrázek ilustruje principiální limitní polohy Sluncí a v mezi-polohách ukazuje pořadí Sluncí a velikost jejich vzdálenosti ve vztahu ke krajním polohám na hranicích oblastí.

Pozorovatel na Zemi rotuje daleko rychleji (365x) a má vzhledem ke shodnému směru rotace Země vzájemné polohy Sluncí prohozené. Dříve proto nastává ten „čas“, který je blíž k meridiánu.

3.4 Komentář k obrázku pohybu Sluncí a složce E₂ rovnice času

Oblasti 1 a 2

Vycházíme z bodu zimního slunovratu, kde se S_1P setká s S₂. ZS je bod, ve kterém je rychlost v_S1P maximální (viz cos α = 1), větší než v_S2.  S_1P je proto v oblasti 1 rychlejší a S₂ hned za ZS předběhne. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale v_S1P se postupně zmenšuje a v jistém okamžiku se rychlosti vyrovnají. Na grafu je to bod minima křivky a na obrázku začátek oblasti 2.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 2 po průchodu minimem křivky začne klesat, protože v_S1P bude už menší než v_S2. Klesající rychlost v_S1P je spojena se zmenšujícím se E₂ v oblasti 2. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v bodě JR se obě Slunce znovu setkají.

V oblasti 1 a 2 je S_1P před S₂, ale z důvodu rychlé rotace Země vůči ročnímu pohybu bude v meridiánu pozorovatele na Zemi nejdříve S₂ a až poté S_1P. Vztah E₂ = T_S1 – T_S2 bude záporný, E₂ < 0.

Oblasti 3 a 4

Vycházíme z bodu jarní rovnodennosti, kde se S_1P setká s S₂. JR je bod, ve kterém je rychlost v_S1P minimální (viz cos 23,5⁰), menší než v_S2. S_1P je v oblasti 3 pomalejší, proto S₂ hned za JR předběhne S_1P. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale rychlost v_S1P se postupně zvětšuje a v jistém okamžiku se rychlosti obou Sluncí vyrovnají. Na grafu je to bod maxima křivky a na obrázku začátek oblasti 4.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 4 po průchodu maximem křivky začne klesat, protože rychlost v_S1P bude už větší než v_S2. Rostoucí rychlost Slunce S_1P je spojena se zmenšujícím se E₂ v oblasti 4. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v bodě LS se obě Slunce opět setkají.

V oblasti 3 a 4 je S₂ před S_1P, ale z důvodu rychlé rotace Země vůči ročnímu pohybu bude v meridiánu pozorovatele na Zemi nejdříve S_1P a až poté S₂. Vztah E₂ = T_S1 – T_S2 bude kladný, E₂ > 0.

Oblasti 5 a 6

Vycházíme z bodu letního slunovratu, kde se S_1P setká s S₂. LS je bod, ve kterém je rychlost v_S1P maximální (viz cos α = 1), větší než v_S2. S_1P je v oblasti 5 rychlejší a S₂ hned za LS předběhne. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale v_S1P se postupně zmenšuje a v jistém okamžiku se rychlosti vyrovnají. Na grafu je to bod minima křivky a na obrázku začátek oblasti 6.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 6 po průchodu minimem křivky začne klesat, protože rychlost v_S1P bude menší než v_S2. Klesající rychlost v_S1P je spojena se zmenšujícím se E₂ v oblasti 6. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v bodě JR se obě Slunce opět setkají.

V oblasti 5 a 6 je S_1P před S₂, ale z důvodu rychlé rotace Země vůči ročnímu pohybu bude v meridiánu pozorovatele na Zemi nejdříve S₂ a až poté S_1P. Vztah E₂ = T_S1 – T_S2 bude záporný, E₂ < 0.

Oblasti 7 a 8

Vycházíme z bodu podzimní rovnodennosti, kde se S_1P setká s S₂. PR je bod, ve kterém je rychlost v_S1P minimální (viz cos 23,5⁰), menší než v_S2. S_1P je v oblasti 7 pomalejší, proto S₂ hned za PR předběhne S_1P. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale v_S1P se postupně zvětšuje a v jistém okamžiku se rychlosti obou Sluncí vyrovnají. Na grafu je to bod maxima křivky a na obrázku začátek oblasti 8.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 8 po průchodu maximem křivky začne klesat, protože rychlost v_S1P bude už větší než v_S2. Rostoucí rychlost S_1P je spojena se zmenšujícím se E₂ v oblasti 8. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v bodě ZS se obě Slunce opět setkají.

V oblasti 7 a 8 je S₂ před S_1P, ale z důvodu rychlé rotace Země vůči ročnímu pohybu bude v meridiánu pozorovatele na Zemi nejdříve S_1P a až poté S₂. Vztah E₂ = T_S1 – T_S2 bude kladný, E₂ > 0.

3.5 Vzájemné relativní rychlosti Sluncí

Vzájemné relativní rychlosti dvou Sluncí jsou definované u E₁ polohou perihélia a afélia (Keplerovými zákony) a u E₂ body slunovratů a rovnodennosti (geometrií rovin ekliptiky a nebeského rovníku). Ke kontaktu dvou Sluncí (S_1P a S₂) dochází ve 4 bodech. V těchto bodech funkce E₂ prochází nulou.

Střední obvodová (úhlová) rychlost v_S1 oběhu Slunce S₁ po ekliptice je stejná jako obvodová (úhlová) rychlost v_S2 Slunce S₂ po nebeském rovníku (v_S1 = v_S2), protože průmět Slunce S_1P oběhne rovníkovou kružnici za stejný čas jako jeho vzor ekliptiku a poloměr kružnice r_S1 = r_S2. Střední rychlosti jsou stejné, ale příslušné virtuální objekty S₁ a S₂ jsou fázově posunuté, a o to jde.

Maximální rychlost v_S1p je v bodech letních a zimních slunovratů, minimální v bodech jarních a podzimních rovnodenností. Po vystředování je maximum a minimum relativní rychlosti (v_S1p – v_S2) stejně velké, jen má opačné znaménko.

(v_S1p – v _S2)/r = -(d/dt) E₂, kde E₂ je rozdíl časů, derivace je tu změna tohoto rozdílu, ne rozdíl sám. Pokud je rychlost derivace, platí i opak, že E₁ a E₂ je součet, integrál.

Pokud (v_S1p – v_S2) > 0, v_S1p > v _S2, oblasti 8, 1 a 4, 5, Slunce se nejdříve přibližují (S_1P je za S₂), a po setkání vzdalují (S_1P je před S₂), Δ E₂ < 0.

Pokud (v_S1p – v _S2) < 0, v_S1p < v _S2, oblasti 2, 3 a 6, 7, Slunce se nejdříve přibližují (S_1P je před S₂), a po setkání vzdalují (S_1P je za S₂), Δ E₁ > 0.

Čím víc je pravé Slunce na ekliptice před středním (a rozdíl poloh je stále kladnější), tím víc se pravé poledne na nebi opožďuje (rozdíl E₂ je stále zápornější).

Pokud (d/dt) E₂ = 0, E₂ se nemění, tak (v_S1p – v_S2) = 0, znamená to, že vzájemná relativní rychlost Sluncí je nulová a jejich vzdálenost se nemění (proto se nemění E₂).

3.6 Nulové body funkce E₂

Zvykne se uvádět, že 1. a 2. střední Slunce se setkávají v bodech JR a PR. Nebeský rovník a ekliptika jsou kružnice v prostoru, které se protínají jen v těchto bodech a z tohoto hlediska se ani nikde jinde Slunce setkat nemohou. Při pohledu na graf funkce E₁ ale vidíme, že nulové body jsou čtyři, ne dva.

Je to způsobeno tím, že graf popisuje rovinu nebeského rovníku, tj. průmět Slunce S₁ z roviny ekliptiky do roviny rovníku. Jak ukazuje nejen graf, ale i obrázek, v rovině nebeského rovníku dochází ke čtyřem setkáním Sluncí.

Proč se u E₂ Slunce setkávají právě v bodech ZS, JR, LS a PR?

Relativní rychlost je rovna nule jen v bodech lokálních extrémů E₂, uprostřed intervalů (ZS až JR), (JR až LS), (LS až PR), (PR až ZS). V těchto bodech dochází ke změně znaménka relativní rychlosti (proto je tam lokální extrém E₂, vzdalování se mění na přibližování a opačně).

Body setkání Sluncí nemohou být v bodech nulové relativní rychlosti, protože by se tam vzájemný pohyb zastavil a změnil směr, místo toho, aby pokračoval dál. Musí v nich být nenulová rychlost.

Pokud jsou výchylky poloh reprezentované lokálními extrémy E₁ symetrické kolem nuly, suma kladných odchylek bude stejná jako suma záporných. Maximální a minimální rychlosti jsou v tzv. inflexních bodech, kde má 1. derivace lokální extrém. Tyto body je možné očekávat mezi nejbližším maximem a minimem. U funkce sinus nastavené symetricky kolem osy x, budou nulové body a inflexní body E₁ totožné. Nulové body E₁ se tak nastaví se do maxim a minim rychlostí, tj do bodů ZS, JR, LS a PR.

Tyto body jako místa setkání Sluncí jsou určené průběhem rychlostí (geometrií rovin), symetrií funkce sinus a přirozenou volbou, aby součet odchylek E₂ od střední hodnoty byl nulový. Podobně jako u funkce E₁, by i zde bylo možné teoreticky (myšlenkově) střední Slunce S₂ fázově posouvat tak, aby se Slunce setkala v úplně jiných nulových bodech, nebo se nesetkala vůbec. Nulové body by pak byly posunuté a neshodovali by se s body ZS, JR, LS a PR. Extrémy rychlostí jako derivace by ale zůstaly v inflexních bodech, uprostřed mezi extrémy E₁.

3.7 Intuitivní konstrukce funkcí E₁, E₂ a E pro rovnice času

Podkapitoly o funkcích E₁ a E₂ ukončí souhrnná myšlenková konstrukce funkcí E₁ a E₂. Následující úvahy nemohou nahradit exaktní řešení astronomických rovnic, ale ukazují princip chování Sluncí na obloze a vzájemné vztahy mezi veličinami polohy, rychlosti a času. Na přesnější grafické zobrazení průběhu funkcí je nutné ilustrační průběhy funkcí napasovat na tabulkové hodnoty z astronomických měření. Žádné úvahy nemohou nikdy nahradit experimentální měření.

Konstrukce funkce E₁

Země obíhá kolem Slunce a na základě Keplerových zákonů se pohybuje nejrychleji v perihéliu a nejpomaleji v aféliu. Pohyby Země se promítají do zdánlivých pohybů pravého Slunce na obloze. Protože hledáme vztah mezi pravým a středním časem, úhlové a obvodové rychlosti pravého Slunce zkoumáme vůči nějaké střední rychlosti virtuálního středního Slunce, tj. jako relativní vzájemné rychlosti. Pak je maximum této nové veličiny v perihéliu stejně vzdálené od střední rychlosti jako minimum v aféliu. Lokální extrémy jsou stejně velké a rozdíl mezi nimi je pouze ve znaménku.

Pokud spojíme počátek funkce s perihéliem na začátku kalendářního roku, nejjednodušší spojitá funkce, která projde z maxima rychlostí v perihéliu přes nulovou relativní rychlost až do minima v aféliu je cosinus (ω (t) = k*cos (t)), což je jen fázově posunutý sinus. Ten potom pokračuje z minima v aféliu do nového maxima v dalším perihéliu atd.

Suma (integrál) ze součtu součinů relativní úhlové rychlosti (ω_P – ω_S1) krát dt (časový interval) dá celkový relativní úhel Δα_1rel. Před integrací jde o rozdíl úhlových rychlostí, tj. relativní rychlost, takže výsledkem součtu (integrálu, sumy) bude relativní úhel Δα_1rel, tj. úhel měřený vůči střednímu Slunci jako nositeli střední rychlosti. A pokud Δα_1rel definuje úhel mezi Slunci, tak v rámci mapování časových souřadnic prostřednictvím úhlů toto Δα_1rel definuje zároveň i čas Δt = E₁ = – Δα_1rel (minus, viz další text).

Za hodinu (v rámci mapování časových souřadnic podle pohybu Slunce) považujeme úhel 15⁰, který urazí Slunce na nebi. A pokud jsme průběh funkce rychlostí odhadli jako cosinus, tak integrál z cosinu je sinus + konstanta.

Obvodové rychlosti, stejně jako úhlové rychlosti a sumární úhly, můžeme měřit přirozeně, ve směru ročního pohybu těles po ekliptice. Vzhledem ke stejnému směru denní rotace Země je zdánlivý pohyb těles (Sluncí) na obloze přesně opačný a má proto opačné znaménko (-Δα). Kladné relativní úhly na ekliptice jsou z pohledu pozorovatele na povrchu Země záporné, pořadí Sluncí procházejících například polednem se prohodí.

Konstanta, která se objeví po integraci, je ve shodě s předchozími úvahami o nastavení polohy středního Slunce, tj. o možném fázovém posunu středního Slunce. Z důvodu symetrie odchylek jí volíme jako nulovou. Nenulová hodnota znamená svislý posun celé křivky sinus nahoru nebo dolů, posun nulových bodů a vychýlení „střední hodnoty“.

Konstrukce funkce E₂

Funkce E₂ není tvořena Keplerovými zákony, ale polohou dvou kružnic a geometrií promítání pohybů těles mezi kružnicemi v prostoru. Po vystředování rychlostí pravého Slunce na rychlost 1. středního Slunce v rovině ekliptiky, jde o následný vztah průmětu rychlosti v_S1P v rovině nebeského rovníku k nové střední rychlosti v_S2.

Okamžité rychlosti v_S1P se i zde zkoumají jako relativní vůči střední rychlosti (v_S1P – v_S2), protože hledáme odchylku od středního času. Vzájemné rychlosti budou mít maxima v bodech zimních a letních slunovratů a stejně velká minima ve dnech jarní a podzimní rovnodennosti.

Další myšlenkový postup pro E₂ je stejný jako u E₁. Funkce rychlosti jako cosinus začíná v den zimního slunovratu před začátkem roku jako maximum (protože je tam průmět relativní rychlosti 1. středního Slunce z ekliptiky na nebeský rovník maximální) a spojitě přechází na minimum v bodě jarní rovnodennosti (protože je tam průmět relativní rychlosti 1. středního Slunce minimální). Funkce pak pokračuje očekávaným způsobem do dalších bodů (letní slunovrat a podzimní rovnodennost).

Úhel Δα_2rel navazuje na první úhel Δα_1rel. Princip je stejný, součtem (integrálem) součinů relativní úhlové rychlosti (ω_S1průmět – ω_S2) krát dt (časový interval) dostaneme relativní úhel Δα_2rel. Před integrací jde o rozdíl úhlových rychlostí, tj. relativní rychlost, takže výsledkem součtu (integrálu, sumy) bude relativní úhel Δα_2rel, tj. úhel měřený vůči 2. střednímu Slunci jako nositeli střední rychlosti.

Pokud Δα_2rel definuje úhel mezi Slunci, tak v rámci mapování časových souřadnic prostřednictvím úhlů toto Δα_2rel definuje zároveň i čas Δt = E₂ = – Δα_2rel. Pro znaménko platí stejný princip jako u funkce E₁. Integrací funkce cosinus je opět funkce sinus + konstanta.

I zde se po integraci objevila konstanta. Ta má stejný smysl jako u funkce E₁ a můžeme ji většinou zvolit jako nulovou.

Zajímavé je, že nová střední obvodová rychlost v_S2 je stejně velká jako první (v_S1), protože průmět oběhne rovníkovou kružnici za stejný čas jako jeho vzor ekliptiku a poloměry kružnic jsou stejné. Rozdíl je v tom, že druhé střední Slunce je na rovníkové kružnici oproti prvnímu fázově posunuté a fázový posun tu znamená další posun středního času.

Jednoduchým součtem dostaneme hledanou funkci Δt = E = E₁ + E₂ = – (Δα₁ + Δα₂). Tento časový rozdíl reprezentuje posun mezi pravým časem, odpovídajícím skutečnému (pravému) Slunci, a středním časem, reprezentovaným virtuálním středním Sluncem, tj. hodinkami. O zajímavé funkci E = T_P – T_S je celá následující podkapitola.

4. Rovnice času, funkce E = E₁ + E₂

Rovnice času a data

Nulovou hodnotou z minus na plus prochází křivka ve dnech 15. – 16. 4. (ve dnech 105 až 106), z plus na minus 12. – 13. 6. (ve dnech 163 až 164), z minus na plus 1. – 2. 9. (ve dnech 244 až 245) a z plus na minus ve dnech 25. – 26. 12. (ve dnech 359 až 360).

Hodnotu (-14 min 11 s) křivka dosahuje 10. – 13. února (dny 41 až 44), hodnotu (+3 min 38 s) 12. – 16. května (dny 132 až 136), hodnotu (-6 min 32 s) 25. – 27. 7. (dny 206 až 208) a hodnotu (+16 min 26 s)
2. – 4. listopadu (dny 306 až 308).

Záporná odchylka T_p – T_s (pravý – střední čas) znamená, že se pravé Slunce (pravé poledne) na obloze opožďuje a pravé poledne nastane později než střední, kladná, že pravé poledne předchází střední. Jako příklady jsou uvedeny 2 varianty pro časový rozdíl 2 a 4 minuty.

12:00_P = 11:58_S + 2 min, E > 0
11:56_P = 12:00_S – 4 min, E < 0

4.1 Odchylky pravého poledne a pravého dne

Z astronomických tabulek je vidět, že největší záporná odchylka (kdy se pravé poledne za středním opožďuje) nastává v polovině února s hodnotou – 14 min 11 s, největší kladná odchylka (kdy pravé poledne předchází střednímu) nastává začátkem listopadu s hodnotou 16 min 26 s.

Nulové rozdíly (přibližné shody) mezi skutečnou délkou dne a střední hodnotou 24 hodin nastávají 4x ročně v „bodech“ lokálních extrémů funkce E (za 24 hod vznikne i tady malá odchylka). Shody mezi pravým polednem a středním nastávají v nulových bodech rovnice času také 4x ročně. Protože E je funkce času, ani tyto „shody“ nemusí nastat přesně ve 12:00 UT.

Jako zdroj astronomických hodnot byly použity tabulky (graf je ilustrační):
https://kalendar.beda.cz/hodnoty-casove-rovnice?year=2023

Pozn.: Nuly (vybarveno modře) představují ve skutečnosti interval, viz další text.

4.2 Je to funkce nebo rovnice? Platnost tabulky hodnot „rovnice času“

Rovnice času se v literatuře zobrazuje vždy jako graf funkce. Jaký je mezi těmito pojmy vztah, je to rovnice nebo funkce? Na obrázku je funkce času E, v tabulkách je 365 rovnic pro pravé a střední poledne v průběhu roku, které jsou průsečíkem času „poledne UT = 12:00“ na ose x, a jedné spojité funkce času E (t) na ose y. Funkce času E (t) udává neustále se měnící časový rozdíl mezi pravým a středním časem, konkrétní hodnoty Δt pro poledne se nachází v astronomických tabulkách.  

Tabulky platí jen pro okamžik UT = 12:00 (univerzální čas) a střední poledne nastane na Zemi v tomto čase jen v zóně UTC+0, a to jen na nultém centrálním poledníku. Ve zbytku pásma je sice střední čas dodefinován tzv. „standardizací“ podle referenčního centrálního poledníku, ale pravý i „reálný“ střední (lokální) čas se i tam spojitě mění. Konkrétně je to o 4 časové minuty na každém stupni zeměpisné délky. Na každém centrálním poledníku se tak poledne posune o 1 hod.

Jak ukazují grafy funkcí E₁, E₂ a E, změna hodnot (T_p – T_s) je spojitá a nemění se skokem po 24 hodinách. Také se nemění jen časový rozdíl, mění se jak T_p tak T_s. Dodefinování T_s na šířku časového pásma dle centrálního poledníku na tom nic nemění. Nečeká a nestojí nejen pravé Slunce, ale na místě nestojí ani střední Slunce. Obě Slunce se pohybují. Funkce E udává spojité změny vzájemných poloh Sluncí v průběhu roku. Hodnoty funkce E pro poledne v jiných časových pásmech a na různých zeměpisných délkách, nebo v jiných časech v průběhu dne se liší, protože poloha Sluncí se v čase spojitě mění.

Pro odchylky pravého poledne od středního v tabulkách často vidíme malou zápornou hodnotu v jeden den a jinou malou kladnou hodnotu následující den. Nulou tedy křivka často prochází v jiný čas než je poledne UT = 12:00, pravé a střední Slunce se v těchto případech setkají v jinou dobu než je uvedený čas. Není ani žádný důvod, proč by to muselo být přesně v době, kdy je k poloze nulového bodu funkce E natočen nultý meridián.

Přesnější hodnoty pro jiné časy nebo pro poledne v různých pásmech je možné získat lineární interpolací mezi dvěma následujícími poledny UT = 12:00. V každém dalším časovém pásmu posunutém o hodinu jsou proto hodnoty pro poledne trochu jiné. Kdyby byly stejné a neměnily by se, nemohly by se změnit ani za 24 hodin.

Změna za den je složena z malých změn za každou hodinu a minutu. Na druhé straně jsou tyto změny natolik malé, že většinou nemají v praxi velký význam. Tabulka hodnot E₁, E₂ a E pro UT = 12:00 ale rozhodně neplatí přesně pro všechna poledne ve všech pásmech UTC+X ani pro všechny časy v průběhu 24 hodin, platí jen pro čas UT = 12:00.

4.3 Obrázek výsledného pohybu Sluncí, který generuje časový rozdíl E

Obrázek zobrazuje vzájemné polohy 2. středního Slunce a pravého Slunce v rovině nebeského rovníku. Jedná se o pomalý roční pohyb těles. Současně existuje ještě mnohem rychlejší rotace Země kolem osy. Polohy jsou ilustrační a nezobrazují skutečné posunutí těles. Úhlové rozložení oblastí 1 – 8 je reálné. Nejviditelnějším důsledkem součtu křivek je rozpad původních symetrií.

Body setkání Sluncí jsou čtyři. Jedná se o nulové body funkce E. Na rozdíl od předchozích obrázků pro funkce E₁ a E₂, jsou tyto nové body rozmístěné asymetricky v dost nečekaných datumech, které se nevážou na žádný významný astronomický bod nebo jev (perihélium, slunovrat, rovnodennost atd.). Setkání Sluncí je ve dnech 24. – 25. 12. 2022 (začátek oblasti 1), 15. – 16. 4. 2023 (začátek oblasti 3), 12. – 13. 6. 2023 (začátek oblasti 5), 1. – 2. 9. 2023 (začátek oblasti 7), 25. – 26. 12. 2023 (další cyklus). Dva dny jsou uvedené proto, že jeden den je funkce pod nulou a druhý nad nulou (nebo obráceně). Není tam přesná nula pro poledne UT = 12:00 v jeden jediný den.

Popis značení na obrázku

S_P – pravé Slunce,
S₂ – 2. střední Slunce,
NB – nulové body rovnice.

4.4 Komentář k obrázku pohybu Sluncí a funkci E

Do grafu se promítají součty dvou podobných křivek typu (- sinus), jedné s 2x rychlejším průběhem fáze. Vztah mezi rychlostmi, polohami a časy je proto podobný jako v předchozích případech, odlišnost je v tom, že součtem křivek se naruší symetrie velikostí i poloh maxim a minim, stejně jako rozmístění nulových bodů. Ty se teď nacházejí z hlediska datumu v dost nečekaných bodech.

Oblasti 1 a 2

Vycházíme z 1. nulového bodu před začátkem roku, kde se S_P setká s S₂ a nastává shoda pravého poledne a středního. V NB₁ bude rychlost Slunce S_P výrazně větší (vyplývá to z grafu a předchozích úvah) než S₂, pravé Slunce proto S₂ hned za NB₁ předběhne. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale rychlost S_P se postupně zmenšuje a v jistém okamžiku se rychlosti vyrovnají. Na grafu je to bod minima křivky E a začátek oblasti 2.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 2 po průchodu minimem křivky začne klesat, protože rychlost S_P bude už menší než S₂. Klesající rychlost S_P je spojena se zmenšujícím se E v oblasti 2. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v NB₂ se obě Slunce znovu setkají. Vliv 1. a 2. křivky (E₁ a E₂) je souhlasný, takže minimum E je výrazné.

V oblasti 1 a 2 je S_P před S₂, ale z důvodu rychlé rotace Země dochází k opačnému zdánlivému pohybu Sluncí na obloze vůči ročnímu pohybu těles po ekliptice. V meridiánu pozorovatele na Zemi bude nejdříve S₂ a až poté S_P. Vztah E = T_P – T_S2 bude záporný, E < 0. Pravé poledne zaostává za středním.

Oblasti 3 a 4

Vycházíme z NB₂, kde se S_P setká s S₂. V NB₂ je rychlost S_P menší než S₂, proto ho 2. střední Slunce hned za NB₂ předběhne. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale rychlost S_P se postupně zvětšuje a v jistém okamžiku se rychlosti obou Sluncí vyrovnají. Na grafu je to bod maxima křivky a začátek oblasti 4.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 4 po průchodu maximem křivky E začne klesat, protože rychlost S_P bude už větší než S₂ a S_P bude S₂ dobíhat. Rostoucí rychlost S_P je spojena se zmenšujícím se E v oblasti 4. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v dalším NB₃ se obě Slunce opět setkají. Vliv 1. a 2. křivky (E₁ a E₂) je tu protikladný, takže maximum E je menší.

V oblasti 3 a 4 je S₂ před S_P, ale z důvodu rychlé rotace Země vůči ročnímu pohybu bude v meridiánu pozorovatele na Zemi nejdříve S_P a až poté S₂. Vztah E = T_P – T_S2 bude kladný, E > 0. Pravé poledne předbíhá střední.

Oblasti 5 a 6

Vycházíme z NB₃, kde se S_P setká s S₂. V NB₃ je rychlost S_P větší než S₂, proto pravé Slunce 2. střední hned za NB₃ předběhne. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale rychlost S_P se postupně zmenšuje a v jistém okamžiku se rychlosti vyrovnají. Na grafu je to bod minima křivky a začátek oblasti 6.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 6 po průchodu minimem křivky začne klesat, protože rychlost S_P bude menší než S₂. Klesající rychlost S_P je spojena se zmenšujícím se E v oblasti 6. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v dalším NB₄ se obě Slunce opět setkají. Vliv 1. a 2. křivky (E₁ a E₂) je protikladný, takže minimum E je menší.

V oblasti 5 a 6 je S_P před S₂, ale v meridiánu pozorovatele na Zemi je nejdříve S₂ a až poté S_P. Vztah
E = T_P – T_S2 je záporný, E < 0. Pravé poledne zaostává za středním.

Oblasti 7 a 8

Vycházíme z NB₄, kde se S_P setká s S₂. V NB₄ je rychlost S_P menší než S₂, proto ho 2. střední Slunce hned za NB₄ předběhne. Vzdálenost mezi Slunci narůstá, ale rychlost S_P se postupně zvětšuje a v jistém okamžiku se rychlosti obou Sluncí vyrovnají. Na grafu je to bod maxima křivky a začátek oblasti 8.

Vzdálenost mezi Slunci se přestane zvětšovat a v oblasti 8 po průchodu maximem křivky začne klesat, protože rychlost S_P bude už větší než S₂. Rostoucí rychlost S_P je spojena se zmenšujícím se E v oblasti 8. Slunce se navzájem přibližují, časový rozdíl klesá a v dalším NB₅ se obě Slunce opět setkají. Vliv 1. a 2. křivky (E₁ a E₂) je souhlasný, takže maximum E je výrazné.

V oblasti 7 a 8 je S₂ před S_P, ale z důvodu rychlé rotace Země vůči ročnímu pohybu bude v meridiánu pozorovatele na Zemi nejdříve S_P a až poté S₂. Vztah E = T_P – T_S2 bude kladný, E > 0. Pravé poledne předbíhá střední.

4.5 Délka dne a odchylky od 24 hodin jako změny funkce E

Kde je v rovnici času délka dne? Je schována v přírůstku nebo úbytku hodnoty E, v její změně. Z rovnice času (funkce času) je vidět, že v bodech lokálních extrémů (maxim a minim) se hodnota E (tj. hodnota časového rozdílu mezi pravým a středním Sluncem) „nemění“. Pokud se časový rozdíl v průběhu otočení Země nemění, znamená to, že reálná rotace vůči pravému Slunci je stejně dlouhá jako ta střední vůči střednímu Slunci, a ta trvá 24 hodin. Kdyby byla jiná, tak by se poloha pravého Slunce vůči střednímu posunula (u pevného tělesa se otočí všechny body o stejný úhel).

Z tohoto důvodu má den „přesně“ 24 hodin jen v bodech maxim a minim uvedené rovnice času (funkce času), to je 4x ročně, protože právě tam se odchylka pravého Slunce od středního nemění. Bohužel to platí jen „bodově“. Slovo „nemění“ tu znamená jen to, že se přírůstek mění na úbytek (a opačně), takže změna (derivace) prochází nulou. Změny ale nejsou diskrétní a nemění se skokově až po 24 hodinách, jsou spojité a malé odchylky vzniklé za 24 hod vznikají i v těchto dnech, protože nulová změna funkce E netrvá celých 24 hodin.

Absolutně přesně 24 hodin nemá ani jeden den v roce, ale čtyři dny se tomu hodně přibližují.

Ve všech dalších bodech rovnice času (funkce času) mimo lokálních extrémů, se vzdálenost Sluncí mění a pravé poledne se každý den posouvá vůči střednímu právě proto, že „pravý den“ nemá 24 hodin. To znamená, že ani samotná rotace Země kolem osy měřená vůči Slunci není přesným etalonem pro měření času. Z hlediska běžného života a vnímání času rozdíl v délce dne není příliš velký, je to v průběhu roku „jen“ asi ± ½ minuty. Člověk proto tak malé změny nevnímá.

„Rovnice času“, definovaná časovým rozdílem (T_P – T_S), neukazuje délky dne ani odchylky od 24 hod přímo. Informace o délkách pravého dne v průběhu roku jsou schované ve změnách hodnot funkce E. Pro pravý den, dlouhý celoročně přesně 24 hod, bychom žádnou rovnici času nepotřebovali, protože pravé Slunce by se ztotožnilo se středním a „rovnice času“ by byla funkce E (t) = 0.

Jsou za odchylkami délky dne změny v setrvačníkové rotaci?

Země se víceméně točí stále stejně a rozdíly v otáčení Země jako setrvačníku jsou minimální. Hvězdný den se v průběhu jednoho roku prakticky nemění, resp. změny jsou naprosto minimální. Zdrojem problémů je rotace Země měřená vůči Slunci.

Délka dne je prodloužená nebo zkrácená kvůli změnám v tzv. „proti-rotaci“. Za tu jsou odpovědné změny rychlosti pohybu Země kolem Slunce důsledkem Keplerových zákonů a změny v průmětu pohybu 1. středního Slunce z roviny ekliptiky do roviny rovníku. Sklon rovin je důsledkem odklonu osy rotace Země (původně kolmé k rovině ekliptiky) o 23,5⁰ po srážce nebeských těles v dávné minulosti.

Rozhodně to není tak, že by zeměkouli něco roztáčelo, a pak zase brzdilo. Nejde o změny v setrvačníkové rotaci.

Na druhou stranu je pravdou, že délka dne měřená vůči Slunci je opravdu někdy delší a jindy kratší. Není to nějaký klam nebo pouhé zdání. 

4.6 Nejkratší a nejdelší den v roce, inflexní body funkce E

Inflexní body funkce E jsou body, kde má 1. derivace lokální extrém. Odchylky délky dne od 24 hod tam nabývají maximum nebo minimum, tj. změna E (∆E) je tam maximální.

Inflexní body jsou místa, kde se měnící úhel tečny křivky E při pohybu po její linii zastaví a začne otáčet opačným směrem, proto derivace funkce nabývá v tomto bodě lokální extrém. Maximální kladné nebo záporné odchylky pravého dne od 24 hodin se tak nachází v bodech, které jsou oproti nulovým bodům funkce E posunuté. To je dost překvapující a pravým důvodem je asymetrie funkce E.

U goniometrických funkcí jako sinus nebo cosinus platí, že pokud například u funkce sinus hledáme maximální nebo minimální hodnotu derivace (lokální extrém směrnice křivky), už při pohledu na průběh křivky i bez výpočtu vidíme, že maximální a minimální hodnoty derivací budou v nulových bodech původní křivky sinus. Právě symetričnost funkce sinus je důvodem, proč se inflexní body ztotožní s nulovými body a k setkání Sluncí dochází v bodech jako je perihélium, afélium, slunovraty nebo rovnodennosti.

U „rovnice času“ jsou hodnoty lokálních extrémů funkce E asymetrické, a proto nejsou maxima a minima směrnice tečny a nulové body funkce E totožné, viz předchozí graf a následující tabulka. Hodnoty E tvoří součet goniometrických funkcí, a navíc s různým průběhem fáze, takže i vlastnosti výsledného součtu jsou jiné než u jednoduchého sinu nebo cosinu. Rozložení inflexních bodů je takové, že ani neumožňuje ztotožnění s nějakými „jinými“ nulovými body „posunuté“ funkce E.

A protože je výsledné E součtem dvou funkcí sinus, kde platilo, že součet kladných odchylek je roven součtu záporných, platí to i pro jejich součet E₁ + E₂. Výchylky poloh reprezentované lokálními extrémy funkce E se vynulují. Inflexní body se ale do nulových kvůli tomu „nepřestěhují“.

V tabulce jsou uváděné vždy krajní hodnoty v daném časovém intervalu, protože funkce E se v čase mění. Nulový bod funkce sice je v nule, ale nemusí to být (a většinou ani není) přesně v době středního poledne UT = 12:00.

V roce 2023 nastaly nejdelší dny v roce s délkou (24 hod + 29,8 s) 21. – 25. prosince, nejkratší dny s délkou (24 hod – 21,4 s) 15. – 20. září. Rozdíl mezi nejkratším a nejdelším dnem je asi 51 s. Vzhledem k plochým lokálním extrémům je uvedeno několik dnů se stejnou hodnotou.

4.7 Spojité a diskrétní derivace E, funkce (d/dt) E a ∆E

Porovnání 3 křivek derivací E

Na grafu jsou tři křivky. Jedna udává spojitou derivaci ilustrační funkce E (dE/dt) jako matematickou funkci a druhá udává „diskrétní derivace“ ilustrační funkce, tj. změny ∆E za den, počítané od půlnoci do půlnoci. Třetí udává diskrétní derivace dle astronomických tabulek, měřené od jednoho poledne do druhého. Jak se dá očekávat, křivky jsou velmi podobné, ale ne absolutně totožné. 

Skutečnost, že derivace funkce E udávají podobnou hodnotu jako „diskrétní derivace“ je očekávaná, derivace jsou limitní hodnoty podílů. „Diskrétní derivace“ jsou ale také určité integrály z derivací funkce E (suma součinů (dE/dt)*dt) od jednoho poledne do druhého nebo od půlnoci do půlnoci).

Z tohoto pohledu je podobnost hodnot změny délky dne za 24 hodin, tj. integrálu a „bodové“ derivace funkce E způsobena tím, že změny funkce E za 1 den nejsou velké a integrály se počítají za stejné jednotky času, na jaké se počítají derivace (tj. po dnech). Jsou to hodnoty na den a za den.

Pokud se například rychlost vlaku moc nemění, tak hodnota rychlosti 50 km/hod je číselně stejná jako vzdálenost 50 km, kterou vlak urazí za hodinu, je to číslo 50. Pokud se vzdálenost bude počítat za 2 hod nebo se rychlost bude v čase výrazně měnit, bude tam už větší číselný rozdíl.

Odchylka délky dne Δt₂₄ = – ∆E₂₄ = – součet změn E za 24 hodin = – Integrál (součtu součinů (dE/dt)*dt) v intervalu od jednoho poledne (x+1) až do následujícího poledne x.

Integrál = – (E (t_X+1) – E (t_X)).

Změny délky dne jako změny funkce E

Změna funkce E, resp. součet všech změn za 24 hodin, znamená přímo hodnotu času, o jakou se pravý den (reálný den se skutečným Sluncem) liší od toho středního o 24 hodinách.

Součet všech součinů úhlových rychlostí ω*dt za 24 hod je sumární úhel a znamená celkový čas. V případě relativní rychlosti (odchylky od střední) je výsledkem relativní úhel, tj. relativní čas, kde se od celkové změny pravého času odečítá střední čas (24 hod), je to tedy změna oproti 24 hod.

Pokud bude (dE/dt) = (v_p – v_S2) = 0 (relativní rychlost Sluncí = 0), vzájemná vzdálenost Sluncí (úhel) se nezmění. Pravé Slunce „oběhne“ Zemi za stejnou dobu jako střední a délka dne bude 24 hod.

A co jiné úhly a rychlosti? Měnící se rotaci Země kolem osy můžeme popsat pomocí dodatečného úhlu „proti-otáčení“ (-ε) a následného „dotáčení“ (+ε, ε > 0) Země vůči Slunci. Definujme si úhel (-ε_S) jako průměrné proti-otočení za 24 hod a (ε_skutečné) jako reálné proti-otočení. Země se musí každý den ke Slunci „dotočit“ o cca 1⁰ (celkově o 360⁰ za rok). Otočení Země o 360⁰ reprezentuje hvězdný den, otočení o (360⁰ + ε_S) reprezentuje střední slunečný den o 24 hodinách a otočení o (360⁰ + ε_skutečné) reprezentuje pravý sluneční den (ε_skutečné je každý den trochu jíné).

t_P (doba rotace Země vůči S_P) = (360⁰ + ε_skutečné)/ω = 24 hod ± odchylka do ½ min,
t_S (doba rotace Země vůči S₂) = (360⁰ + ε_S)/ω =24 hod přesně,
kde ω = (360⁰ + ε_S)/24 hod (úhlová rychlost setrvačníkové rotace).

Indexy 2 a 1 u E₂ a E₁ nebo Δα₂ a Δα₁ se v několika dalších řádcích nevztahují k dříve probíraným funkcím E₂ a E₁. Týkají se jen funkce E a její dvou časových stavů (t₁ a pozdějšího t₂). Podobně zkratky S₂ a S₁ tu neznamenají 2. a 1. střední Slunce, ale jen 2. střední Slunce pro časy t₁ a t₂.

Mapovaný čas Δt = T_P – T_S je určen funkcí E, kde E = – Δα_rel, znaménko bylo diskutováno dříve,
24 hod je definováno úhlem dvou po sobě následujících průchodů 2. středního Slunce meridiánem,
24 hod = – (α_S2 – α_S1), střední úhel je cca 361⁰,

ΔE = E₂ – E₁ = – (Δα_2rel – Δα_1rel) = – ((α_P2 – α_S2) – (α_P1 – α_S1)) = – ((α_P2 – α_P1) – (α_S2 – α_S1)) = – (Δα_P – (360⁰ + ε_s)).

Když dvě polohy pravých Sluncí Δα_P po 24 hod dělí úhel (360⁰ + ε_s), ΔE = 0, pravý den má přesně 24 hod. Nenulová odchylka Δα_P od (360⁰ + ε_s) určuje odchylku od středního dne (od 24 hod) měřenou ve stupních (15⁰ je 1 hod). Určující není relativní poloha Sluncí, ale její změna.

Čas v tomto i v jiných případech je určen vždy změnou, a zde je změna délky dne určena změnou relativní polohy Sluncí, tzn. funkcí ∆E.

Změny funkce E udávají rychlosti i časy zároveň

V předchozích textech byla změna funkce E někdy rychlost a jindy čas (změna délky dne). To je trochu zvláštní. Jak to, že rychlost může být současně i časem a udávat změnu délky dne? Je to proto, že rychlost je změna dráhy (úhlu) za čas a dráha nebo úhel zde reprezentují mapovaný čas (pravý, střední nebo jejich vzájemný rozdíl). Přírůstek úhlu při mapování času definuje plynoucí čas.

Změny časových rozdílů E, tj. ΔE, udávají odchylky plynutí času u dvou systémů měření: dle pravého Slunce a dle středního: ((α_P2 – α_P1) – (α_S2 – α_S1)). Změna relativní rychlosti ((α_P2 – α_S2) – (α_P1 – α_S1)) za 24 hod je potom rovna rozdílu délky dne u dvou časových systémů za stejný časový interval.

Bodové změny reprezentují průběh relativní úhlové rychlosti a zároveň malé bodové změny pravého času vůči střednímu. Integrály (součty součinů za 24 hodin), tj. diskrétní hodnoty ΔE jsou velké (intervalové) změny délky dne i relativní úhlové rychlosti.

Předchozí graf pro odchylky délky dne od 24 hod je proto i grafem průběhu relativní rychlosti pravého Slunce vůči střednímu. V nulových bodech tohoto grafu je odchylka plynutí pravého času vůči střednímu nulová, den má 24 hod a nule je rovna i relativní rychlost Sluncí.

Zdroj dat pro perihélium a afélium:
https://www.timeanddate.com/astronomy/perihelion-aphelion-solstice.html

Zdroj dat pro roční období:
https://en.wikipedia.org/wiki/Solstice

Zdroj astronomických dat pro hodnoty „rovnice času“:
https://kalendar.beda.cz/hodnoty-casove-rovnice